ラグランジュ の 運動 方程式。 解析力学/ラグランジアン

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だから時間を含むラグランジアンなど考える必要は全くない。

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拘束力である糸の張力は仕事をしない。 束縛力にはおもしろい性質が有ります。

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基本的に求め方は台車の変位 xの場合と同じです。 一般化運動量を変化させる右辺は一般化力とも呼ばれる。 質量-ばねシステムの場合 この質量-ばねシステムを例に運動方程式を求めていきます。

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ラグランジュ方程式の紹介 まず簡単な例でラグランジュ方程式というものを紹介しよう。 だから、ラグランジュ方程式では、2つの質点間の力は一般化力に入れなくてよい。

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ラグランジアンは 運動エネルギー - ポテンシャルエネルギー という意味がわからない量だが、実は運動に関する情報を全て含んだ関数だ。 上でも触れたとおり、ラグランジアンや作用を適切に定義することにより、 ニュートン方程式だけでなくマクスウェル方程式や一般相対論などについても 最小作用の形で定式化できることが知られている。

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さらに言い換えると、一般に運動方程式は時間に対する2階の微分方程式であるから、その一般解は1つの座標につき2つの自由パラメータを持つ。

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ちなみに右辺の は一般化座標の変位と掛け合わせてエネルギーを生み出すものなので 「一般化力」という名が付いています。 覚えておいて下さい。

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以上の例(位置に比例するポテンシャルと,運動エネルギーを考えた例)で, ニュートンの運動方程式とは別にラグランジュの方程式なるものを導入できることを示しました. それらは結局,同等なものになっています(そうじゃなきゃ困ります). さて,わざわざ別の基礎方程式を導入したからには,なにか利点があるはずです. それは,加速度を直接方程式に含めなくてよい,という点が大きいと思われます. 運動方程式を立てる座標系は,直線座標の場合もあれば, 曲線であったり角度を変数としている場合もあります. 普通,時間についての2階微分である加速度を,このように様々な変数で表すのは難しい作業です. ラグランジュの方程式はラグランジアンさえ分かれば立てることができます. そしてラグランジアンに加速度は含まれていません. ラグランジュの方程式はどのような座標系でも同じ形になるところに利点があります.. ニュートンの運動方程式は、力=(運動量の時間微分)であるので、オイラー=ラグランジュ方程式は ニュートンの運動方程式を一般化座標に拡張したものと捉える事もできる。

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1個のデカルト座標は3個の座標値を持ちますので、全質点には 個の座標値があります。

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